ECUACIONES DIFERENCIALES: Ecuacion diferencial lineal no Homogénea

INFORMACION:

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneos son de la forma

x´ = A(t)x + b(t)

donde, para cada t, A(t) es una matriz n×n, x es un vector columna de funciones incógnita y b(t) es un vector columna de funciones conocidas.

La forma de proceder para resolver este tipo de sistemas es la misma que ya estudiamos para las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas . Primero demostraremos que la solución general del sistema es la suma de la solución general del sistema homogéneo

x´= A(t)x

y de una solución particular del no homogéneo. A continuación diseñaremos un método para encontrar una solución particular del sistema no homogéneo.

Ejercicio N.1

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGÉNEA DE PRIMER ORDEN:

Ejercicio N:2

Donde a,b,c son constantes.

Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea es importante tener en cuenta los siguientes pasos:

Iniciamos verificando que la ecuación es NO homogénea.

Si tenemos que C=0 podemos decir que a ecuación no es homogénea y añade un paso mas en el proceso de solución de la misma. El camino hacia una solucion general pasa por encontrar previamente una solución a la ecuacion homogénea (es decir, quitar la constante c), y luego encontrar una solución particular a la ecuación no homogénea (es decir, encontrar cualquier solución considerando la constante c como parte de la ecuación). La solución a la ecuación homogénea es

Por sustitución, se puede verificar que estableciando esta función igual al valor constante -c/b satisfacerá a la ecuación no homogénea.

Forma parte de la naturaleza de las ecuaciones diferenciales, que la suma de soluciones sea también otra solución, de modo que tomando la suma de las dos soluciones de arriba, se puede aproximar a una solución general. El requisito final para la aplicación de la solución al problema físico es que la solución encuentre las condiciones de contorno físicas del problema. La situación mas normal en los problemas físicos, es que las condiciones de contorno (condiciones de frontera) son los valores de la función f(x) y sus derivadas cuando x=0. Las condiciones de contorno a menudo se llaman "condiciones iniciales". Para la ecuación de primer orden, necesitamos especificar una condición de contorno. Por ejemplo: