DEFINICION:
La ecuación de Riccati es una
ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y
desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco
Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.En 1724 publicó una
investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de
D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de
Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibniz, Goldbach, Juan
Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.1
Generalmente, esta ecuación la
presentan en la forma:
EJERCICIO N.1:
Recibe el nombre de ecuación de Riccati
toda ecuación diferencial de la forma:
En general, esta ecuación no se integra
en cuadraturas (la búsqueda de la solución no puede reducirse a un
número finito de integraciones
sucesivas).
Si se conoce una solución particular,
y1(x), entonces, introduciendo una nueva variable z tal que:
La ecuación diferencial de Riccati se
reduce a una ecuación diferencial lineal puesto que podemos poner:
Y sustituyendo en (R1):
Pero teniendo en cuenta que y1 es
solución de (R1) se verificará:
Por lo que sustituyendo y simplificando
tendremos:
Que es una ecuación lineal en z.
Integrada esta última ecuación y hallada
z, se podrá pasar a y por la equivalencia dada.
Si se conoce otra solución más, y2, de
la ecuación diferencial del Riccati, entonces:
Es una solución particular de la
ecuación lineal para la variable z, lo cual nos permite simplificar su
integración.
Si para la ecuación diferencial de
Riccati se conocen tres soluciones particulares y1, y2 e y3, entonces su
integral
general es:
Resultado que se puede enunciar diciendo
que la razón doble de cuatro integrales particulares de la ecuación
diferencial de Riccati es constante.
EJERCICIO N.2:
Es una ecuación de Riccati. Veamos
que efectivamente Y1=x es solución de la ecuación
Efectuando la sustitucion Y= x +
1/ v
Simplificando, queda la ecuacion
lineal v´+ v =
x, cuya solucion general es
Veamos el siguiente video, para mejor compresión:
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